Def1. 端

设 $M^m$ 是一 $m$ 维完备黎曼流形, $\Omega$ 是 $M$ 中某个紧子集, 若 $E$ 是 $M-\Omega$ 的一个非紧连通分支, 则称 $E$ 是 $M$ 的一个端(end).

Def2. 端是正则的

假定 $E$ 是 $M$ 的一个端, 对任意 $r\geq 0$, 记

\[E_r:=\{x\in E : \text{dist}(x,\partial E)=r\}.\]

我们称端 E 是正则的(regular), 如果对所有充分大的 $r$ 及对定义在

\[U_r:=\{x\in E : \frac{r}{2}<\text{dist}(x,\partial E)<2r\}\]

上的任意正的调和函数 $u$, 在 $E_r$ 上都有 Harnack 型的不等式:

\[\sup_{E_r}u\leq C\inf_{E_r}u,\]

其中 $C$ 不依赖于 $r$.

Def3. 抛物端

设 $E$ 是 $M$ 的一个端. 若 $E$ 上不存在满足如下条件的非常值调和函数 $f:E\rightarrow\mathbb{R}$:

(i) $f|_{\partial E}=1$;

(ii) $\liminf_{y\rightarrow E(\infty)}f(y)<1$, (其中 $E(\infty)$ 指 $E$ 的无穷远)

则称 $E$ 是抛物的. 否则我们就称 $E$ 是 $M$ 的一个非抛物端, 并称函数 $f$ 是 $E$ 的闸函数(barrie function).

注意对函数 $f$ 加上并乘以某常数, 上述条件可以改为

(i) $f|_{\partial E}=1$;

(ii) $\liminf_{y\rightarrow E(\infty)}f(y)=0$, (其中 $E(\infty)$ 指 $E$ 的无穷远)

References:

Peter Li, Harmonic functions on complete Riemannian manifolds.

M.P.Cavalcante, H.Mirandola, and F.Vitório, The non-parabolicity of infinite volume ends. arXiv:1201.6391v1 [math.DG] 30 Jan 2012. http://arxiv.org/abs/1201.6391

Grigor’yan, A., Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the
Brownian motion on Riemannian manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 36 (1999), no. 2,
135 – 249.